Jordan标准型Jordan 分解设 𝑇T 是 𝑛n 维空间 𝑉V 上的一个线性变换。如果 𝑇T 的最小多项式为：

𝑚𝐴(𝜆)=(𝜆−𝜆1)𝑟1(𝜆−𝜆2)𝑟2⋯(𝜆−𝜆𝑘)𝑟𝑘mA(λ)=(λ−λ1)r1(λ−λ2)r2⋯(λ−λk)rk那么由准素分解可知，空间 𝑉V 可以分解为子空间的直和：

𝑉=𝑉1⊕𝑉2⊕⋯⊕𝑉𝑘V=V1⊕V2⊕⋯⊕Vk其中 𝑉𝑖 =𝑁((𝐴−𝜆𝑖𝐼)𝑟𝑖)Vi=N((A−λiI)ri)，式中 𝐴A 为 𝑇T 对应的矩阵，这些子空间都在 𝑇T 作用下不变。

令变换 𝑇𝑖Ti 为 𝑉V 在子空间 𝑉𝑖Vi 上的射影，即构造多项式 𝑢𝑖(𝑇)ui(T) 使得：

𝑇𝑖=𝑢𝑖(𝑇)𝑚𝐴(𝑇)(𝑇−𝜆𝑖𝑇𝑒)𝑟𝑖Ti=ui(T)mA(T)(T−λiTe)ri𝑇1+𝑇2+⋯+𝑇𝑘=𝑇𝑒T1+T2+⋯+Tk=Te式中 𝑇𝑒Te 表示空间 𝑉V 的恒等变换。于是有性质：

变换 𝑇𝑖Ti 在空间 𝑉𝑖Vi 上的限制 𝑇𝑖|𝑉𝑖Ti|Vi 为空间 𝑉𝑖Vi 的恒等变换。如果 𝑖i 与 𝑗j 不相等，变换 𝑇𝑖Ti 在空间 𝑉𝑗Vj 上的限制 𝑇𝑖|𝑉𝑗Ti|Vj 为空间 𝑉𝑗Vj 的零变换。于是变换 𝑇𝑖Ti 将空间 𝑉V 的每一个向量 𝜉ξ 映射为它在空间 𝑉𝑖Vi 中的分量 𝜉𝑖ξi。

构造变换：

𝑇𝐷=𝜆1𝑇1+𝜆2𝑇2+⋯+𝜆𝑘𝑇𝑘TD=λ1T1+λ2T2+⋯+λkTk由于每一个变换 𝑇𝑖Ti 都是变换 𝑇T 的一个多项式，所以变换 𝑇𝐷TD 也是变换 𝑇T 的一个多项式，于是每一个子空间 𝑉𝑖Vi 在变换 𝑇𝐷TD 下不变。

由上述等式可知，变换 𝑇𝐷TD 在子空间 𝑉𝑖Vi 上的限制 𝑇𝐷|𝑉𝑖TD|Vi 是子空间 𝑉𝑖Vi 的一个位似，位似系数为 𝜆𝑖λi。因此，变换 𝑇𝐷TD 可以对角化。

构造：

𝑇𝑁=𝑇−𝑇𝐷TN=T−TD于是变换 𝑇𝑁TN 也是变换 𝑇T 的一个多项式，所以每一个子空间 𝑉𝑖Vi 在变换 𝑇𝑁TN 下不变。对于子空间 𝑉𝑖Vi 中的任意向量 𝜉𝑖ξi，有：

𝑇𝑁𝑟𝑖(𝜉𝑖)=𝑇−𝑇𝐷𝑟𝑖(𝜉𝑖)=𝑇−𝜆𝑖𝑇𝑖𝑟𝑖(𝜉𝑖)=0TNri(ξi)=T−TDri(ξi)=T−λiTiri(ξi)=0令 𝑟r 为全体 𝑟𝑖ri 的最大值，那么对于空间 𝑉V 中的任意向量 𝜉ξ，变换 𝑇𝑁TN 的 𝑟r 次方将向量 𝜉ξ 映射至零向量。因此变换 𝑇𝑁TN 是一个幂零变换。

这样，空间 𝑉V 的每一个变换 𝑇T 都可以写成：

𝑇=𝑇𝐷+𝑇𝑁T=TD+TN其中 𝑇𝐷TD 可以对角化，而 𝑇𝑁TN 是一个幂零变换。因为 𝑇𝐷TD 和 𝑇𝑁TN 都是变换 𝑇T 的多项式，所以它们的乘积可交换：

𝑇𝐷𝑇𝑁=𝑇𝑁𝑇𝐷TDTN=TNTD定理：设 𝑇1T1 和 𝑇2T2 是空间 𝑉V 的两个可对角化变换，且 𝑇1𝑇2 =𝑇2𝑇1T1T2=T2T1，那么存在一个基，使得 𝑇1T1 和 𝑇2T2 关于这同一个基的矩阵是对角形式。

定理：设 𝑇T 是 𝑛n 维空间 𝑉V 上的一个线性变换，那么存在一个可对角化变换 𝑇𝐷TD 和一个幂零变换 𝑇𝑁TN，使得：

𝑇=𝑇𝐷+𝑇𝑁T=TD+TN𝑇𝐷𝑇𝑁=𝑇𝑁𝑇𝐷TDTN=TNTD它们都是变换 𝑇T 的多项式，并且它们由变换 𝑇T 唯一确定。

该定理给出关于变换 𝑇T 的分解，称为 𝑇T 的若尔当（Jordan）分解，𝑇𝐷TD 叫做 𝑇T 的可对角化部分，𝑇𝑁TN 叫做 𝑇T 的幂零部分。

同样地，有矩阵的 Jordan 分解：

定理：设 𝐴A 是一个 𝑛n 阶矩阵，那么存在一个可对角化矩阵 𝐷D 和一个幂零矩阵 𝑁N，使得：

𝐴=𝐷+𝑁A=D+N𝐷𝑁=𝑁𝐷DN=ND它们都是矩阵 𝐴A 的多项式，并且它们由矩阵 𝐴A 唯一确定。

该定理给出关于矩阵 𝐴A 的分解，称为 𝐴A 的若尔当（Jordan）分解，𝐷D 叫做 𝐴A 的可对角化部分，𝑁N 叫做 𝐴A 的幂零部分。

lambda 矩阵接下来引入的部分是含有变元参量 𝜆λ 的更广义的矩阵，不仅仅是一个数表。这部分讨论相较单纯由数构成的矩阵而言，更加广泛一些。

对于 𝜆λ 矩阵，对应空间相应的域，变为含有一个变元 𝜆λ 的有理式域。

以 𝜆λ 的多项式为元素的矩阵称为 𝜆λ 矩阵，记为 𝐴(𝜆)A(λ)。

由于多项式域包含数域，数字矩阵是特殊的 𝜆λ 矩阵，数字矩阵 𝐴A 的特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 是一种 𝜆λ 矩阵。

lambda 矩阵的初等变换对于 𝜆λ 矩阵，同样可以定义加减法、乘法、初等变换、秩。对于 𝜆λ 方阵，同样可以定义行列式、余子式、代数余子式。

对于 𝜆λ 矩阵，初等变换与数阵大多相同，仅将倍加变换改为（这里以行变换为例）：

用 𝜆λ 的多项式 𝜑(𝜆)φ(λ) 乘某行并加到另一行上。注意倍乘变换不进行修改。这是因为倍加变换不改变行列式，而倍乘变换改变行列式。为了保持多项式域的秩的性质，行列式只能在数域上进行改变。

相应的初等矩阵也一并进行修改。

易见三种初等阵的行列式均为非零常数，因此均为满秩。所以它们左乘或右乘，不改变 𝜆λ 矩阵的秩。

若 𝐴(𝜆)A(λ) 经过有限次初等变换变为 𝐵(𝜆)B(λ)，则称 𝐴(𝜆)A(λ) 和 𝐵(𝜆)B(λ) 等价。

对于 𝜆λ 矩阵，如果等价，则秩相同。反之则不然，这与数字矩阵有区别。

Smith 标准型定理：设 𝜆λ 矩阵的秩是 𝑟r，则 𝐴(𝜆)A(λ) 一定等价于：

(𝐷(𝜆)000)(D(λ)000)其中：

𝐷(𝜆)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑑1(𝜆)⋱𝑑𝑟(𝜆)⎞⎟ ⎟ ⎟⎠D(λ)=(d1(λ)⋱dr(λ))每一个 𝑑𝑖(𝜆)di(λ) 是一个首 11 多项式，并且相邻两个多项式有整除关系 𝑑𝑖(𝜆)|𝑑𝑖+1(𝜆)di(λ)|di+1(λ)。

称此标准型为 Smith 标准型，称 𝑑𝑖(𝜆)di(λ) 为不变因子。

具体求解 Smith 标准型的办法是，从左上角到右下角进行消元，每次左上角的元素是右下方剩余的全体多项式的最大公因式，并借助左上角的元素将该行该列全部消为 00。

定理：条件 𝐴(𝜆)A(λ) 和 𝐵(𝜆)B(λ) 等价，等价于条件 𝐴(𝜆)A(λ) 和 𝐵(𝜆)B(λ) 拥有完全一样的不变因子。

初等因子由代数基本定理，设 𝐴(𝜆)A(λ) 的不变因子 𝑑1(𝜆),𝑑2(𝜆),⋯,𝑑𝑚(𝜆)d1(λ),d2(λ),⋯,dm(λ) 的分解为：

𝑑𝑖(𝜆)=(𝜆−𝜆1)𝑒𝑖1(𝜆−𝜆2)𝑒𝑖2⋯(𝜆−𝜆𝑆)𝑒𝑖𝑆di(λ)=(λ−λ1)ei1(λ−λ2)ei2⋯(λ−λS)eiS其中 𝜆1,⋯,𝜆𝑆λ1,⋯,λS 互不相同。由于：

𝑑𝑖(𝜆)|𝑑𝑖+1(𝜆)di(λ)|di+1(λ)因此指数 𝑒1𝑗,𝑒2𝑗,⋯,𝑒𝑚𝑗e1j,e2j,⋯,emj 递增，并且最后一项 𝑑𝑚(𝜆)dm(λ) 的各项指数均非零。

上式中指数大于零的全部因子，统称为 𝐴(𝜆)A(λ) 的初等因子。

注意，初等因子计重数。如果对于某个 𝑗j，指数 𝑒𝑖𝑗eij 出现了若干次，则对应的初等因子 (𝜆−𝜆𝑗)𝑒𝑖𝑗(λ−λj)eij 也应当出现相应次数。

之前的定理说明，𝐴(𝜆)A(λ) 与 𝐵(𝜆)B(λ) 等价，等价于他们两个拥有完全一致的不变因子。不变因子完全相同，自然初等因子也完全相同，但是反之则不然。事实上有结论：

定理：𝐴(𝜆)A(λ) 与 𝐵(𝜆)B(λ) 不变因子完全相同，等价于初等因子和秩均完全相同。

于是「初等因子和秩均完全相同」也成为判断 𝜆λ 矩阵等价性的条件。

在初等变换的时候，也可以先将 𝐴(𝜆)A(λ) 变换为对角阵，再求出初等因子和秩，再求出不变因子得到标准型。有结论：

定理：设 𝐴(𝜆)A(λ) 等价于对角阵：

diag⁡{𝑓1(𝜆),𝑓2(𝜆),⋯,𝑓𝑟(𝜆),0,⋯,0}diag⁡{f1(λ),f2(λ),⋯,fr(λ),0,⋯,0}那么有 𝑓1(𝜆),𝑓2(𝜆),⋯,𝑓𝑟(𝜆)f1(λ),f2(λ),⋯,fr(λ) 的全体一次因子的幂 (𝜆−𝜆𝑗)𝑒𝑖𝑗(λ−λj)eij，构成 𝐴(𝜆)A(λ) 的初等因子。

由初等因子和秩构造不变因子的具体方法为：先将初等因子按照因式分类，排成表格，把同类因式进行降幂排列放到同一行，各类因式的最高次幂放到一列，把列数用 11 补齐至秩 𝑟r，那么每一列的乘积构成一个不变因子。

在特征矩阵中的应用如果 𝐴A 与 𝐵B 是数阵，那么它们的特征矩阵是 𝜆λ 矩阵。有结论：

定理：条件数阵 𝐴A 与 𝐵B 相似，等价于条件特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 和 𝜆𝐼 −𝐵λI−B 等价。

由于特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 只在主对角线含有 𝑛n 个 𝜆λ，所以秩为 𝑛n。由上述推理，同型的数阵的特征矩阵的秩始终相等，于是有等价性：

数阵 𝐴A 与 𝐵B 相似，等价于特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 和 𝜆𝐼 −𝐵λI−B 有完全相同的初等因子。

对于特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A，初等变换保持等价性，所以不改变秩。

观察三种初等变换，由于唯一被改写的倍加变换不改变行列式，事实上三种初等变换仅对行列式的结果多项式改变常数倍，因此不改变行列式的结果多项式的因式分解与次数。

因此特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 的行列式为 𝑛n 次多项式，初等变换化为 Smith 标准型后，由于秩为 𝑛n，行列式就是主对角线全体不变因子的乘积，也等于全体初等因子的乘积。因此，特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 的全体初等因子的次数之和等于 𝑛n。

Jordan 标准型矩阵

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜆10⋯000𝜆1⋯0000𝜆⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯𝜆1000⋯0𝜆⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠(λ10⋯000λ1⋯0000λ⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯λ1000⋯0λ)主对角线上的元素都是 𝜆λ，紧邻主对角线上方的元素都是 11，其余位置都是 00，叫做属于 𝜆λ 的一个 Jordan 矩阵，或称 Jordan 块。

显然，幂零 Jordan 矩阵是 Jordan 矩阵的特例，即 𝜆λ 为 00 的情形。

定理：设 𝑇T 是 𝑛n 维空间 𝑉V 的一个变换，𝜆1,⋯,𝜆𝑘λ1,⋯,λk 是 𝑇T 的一切互不相同的特征值，那么存在一个基，使得 𝑇T 关于这个基的矩阵有形状：

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝐵10𝐵2⋱0𝐵𝑘⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠(B10B2⋱0Bk)其中

𝐵𝑖=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝐽𝑖10𝐽𝑖2⋱0𝐽𝑖𝑠𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠Bi=(Ji10Ji2⋱0Jisi)其中 𝐽𝑖1,⋯,𝐽𝑖𝑠𝑖Ji1,⋯,Jisi 都是属于 𝜆𝑖λi 的 Jordan 块。

这是因为，首先根据最小多项式：

𝑚𝐴(𝜆)=(𝜆−𝜆1)𝑟1(𝜆−𝜆2)𝑟2⋯(𝜆−𝜆𝑘)𝑟𝑘mA(λ)=(λ−λ1)r1(λ−λ2)r2⋯(λ−λk)rk有准素分解：

𝑉=𝑉1⊕𝑉2⊕⋯⊕𝑉𝑘V=V1⊕V2⊕⋯⊕Vk其中：

𝑉𝑖=𝑁((𝐴−𝜆𝑖𝐼)𝑟𝑖)Vi=N((A−λiI)ri)式中 𝐴A 为 𝑇T 对应的矩阵。

令变换 𝑆𝑖Si 为 𝑇T 在 𝑉𝑖Vi 上的限制 𝑇|𝑉𝑖T|Vi，接下来试图对每一个 𝑆𝑖Si 进行 Jordan 分解。

记 𝑇𝑒Te 为 𝑉V 上的恒等变换。与前文的 Jordan 分解不同，记 𝑇𝑖Ti 为 𝑆𝑖Si 的 Jordan 分解中的幂零部分：

𝑆𝑖=𝜆𝑖𝑇𝑒+𝑇𝑖Si=λiTe+Ti于是 𝑇𝑖Ti 为子空间 𝑉𝑖Vi 的一个幂零变换，事实上也是 𝑇 −𝜆𝑖𝑇𝑒T−λiTe 在 𝑉𝑖Vi 上的限制 (𝑇−𝜆𝑖𝑇𝑒)|𝑉𝑖(T−λiTe)|Vi。

子空间 𝑉𝑖Vi 可以分解为幂零变换 𝑇𝑖Ti 循环子空间的直和：

𝑉𝑖=𝑊𝑖1⊕𝑊𝑖2⊕⋯⊕𝑊𝑖𝑠𝑖Vi=Wi1⊕Wi2⊕⋯⊕Wisi在每一个循环子空间 𝑊𝑖𝑗Wij 里，取一个循环基并倒序排列，凑成 𝑉𝑖Vi 的一个基，于是 𝑇𝑖Ti 关于这个基的矩阵有形状：

𝑁𝑖=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑁𝑖10𝑁𝑖2⋱0𝑁𝑖𝑠𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠Ni=(Ni10Ni2⋱0Nisi)全体 𝑁𝑖𝑗Nij 均为幂零 Jordan 块。于是对于 𝑉𝑖Vi 上述选取的基，𝑆𝑖Si 对应的矩阵是：

𝐵𝑖=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜆𝑖0𝜆𝑖⋱0𝜆𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑁𝑖10𝑁𝑖2⋱0𝑁𝑖𝑠𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝐽𝑖10𝐽𝑖2⋱0𝐽𝑖𝑠𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠Bi=(λi0λi⋱0λi)+(Ni10Ni2⋱0Nisi)=(Ji10Ji2⋱0Jisi)这里 𝐽𝑖1,𝐽𝑖2,⋯,𝐽𝑖𝑠𝑖Ji1,Ji2,⋯,Jisi 都是属于 𝜆𝑖λi 的 Jordan 块。

对于每一个子空间 𝑉𝑖Vi，按照以上方式选取一个基，凑起来成为 𝑉V 的基，那么 𝑇T 关于这个基的矩阵即构成定理规定的形式。

形如：

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝐽10𝐽2⋱0𝐽𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠(J10J2⋱0Jm)的 𝑛n 阶矩阵，其中每一个 𝐽𝑖Ji 都是一个 Jordan 块，叫做一个 Jordan 标准型。

定理：每一个 𝑛n 阶矩阵 𝐴A 都与一个 Jordan 标准型相似。除了各个 Jordan 块排列的次序以外，与 𝐴A 相似的 Jordan 标准型是由 𝐴A 唯一确定的。

注意在上述构造的矩阵 𝐵𝑖Bi 中，第一项是一个单位阵的若干倍，自然可以和第二项交换。因此，第一项就是 𝐵𝑖Bi 的 Jordan 分解的可对角化部分，第二项就是 𝐵𝑖Bi 的 Jordan 分解的幂零部分。

在一个矩阵对应的 Jordan 标准型里面，主对角线上的元素构成的对角阵是这个矩阵对应的 Jordan 标准型的可对角化部分，把主对角线上的元素换成 00 就得到这个矩阵对应的 Jordan 标准型的幂零部分。

定理：对于矩阵 𝐴A 的 Jordan 标准型中，每一个 Jordan 块：

𝐽𝑖=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜆𝑖1𝜆𝑖1⋱⋱⋱1𝜆𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠Ji=(λi1λi1⋱⋱⋱1λi)对应于特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 的一个初等因子 (𝜆−𝜆𝑖)𝑛𝑖(λ−λi)ni，特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 的全体初等因子对应于矩阵 𝐴A 的 Jordan 标准型中的全体 Jordan 块。

这是因为，矩阵 𝐴A 相似于它的 Jordan 标准型，因此两者的特征矩阵也等价，将 Jordan 标准型的特征矩阵化为 Smith 标准型即可看出。

由这个定理，借助特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 的初等因子，可以写出矩阵 𝐴A 的 Jordan 标准型。

一个推论是，矩阵 𝐴A 可对角化，等价于特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 的初等因子均为一次的。

弗罗贝尼乌斯（Forbenious）定理上文指出，𝑛n 阶特征矩阵的 Smith 标准形的秩为 𝑛n。

定理：设矩阵 𝐴A 的特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 的 Smith 标准形为：

diag⁡{𝑑1(𝜆),𝑑2(𝜆),⋯,𝑑𝑛(𝜆)}diag⁡{d1(λ),d2(λ),⋯,dn(λ)}则最后一个不变因子 𝑑𝑛(𝜆)dn(λ) 恰好为矩阵 𝐴A 的最小多项式 𝑚𝐴(𝜆)mA(λ)。

推论：矩阵 𝐴A 可对角化的等价条件为：

最小多项式 𝑚𝐴(𝜆)mA(λ) 无重根。特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 的不变因子无重根。特征矩阵 𝜆𝐼 −𝐴λI−A 的初等因子均为一次的。本页面最近更新：2023/7/30 10:47:50，更新历史发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！本页面贡献者：Tiphereth-A, CCXXXI, Great-designer本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用